在矩阵理论中，我们已经研究过埃尔米特( Hermite)阵、酉阵和正规阵，下面我们要在希尔伯特空间中建立起相应的自伴算子、酉算子和正规算子的概念，并讨论这些算子的一些基本性质.
定义
设 TTT 为希尔伯特空间 XXX 到 XXX 中 的有界线性算子，若T=T∗,T = T ^ { * } ,T=T∗, 则称 TTT 为 XXX 上的自伴算子；若 TT∗=T∗T,T T ^ { * } = T ^ { * } T ,TT∗=T∗T, 则称 TTT 为 XXX 上的正规算子；若 TTT 是 XXX 到 XXX 上 的一对一映射，且 T∗=T−1,T ^ { * } = T ^ { - 1 } ,T∗=T−1, 则称 TTT 为 XXX 上 的酉算子、
当 TTT 是自伴算子时，由 T∗T ^ { * }T∗ 的定义，对一切 x,y∈X,x , y \in X ,x,y∈X,
⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩.(1)\langle T x , y \rangle = \langle x , T y \rangle .\quad\quad(1)⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩.(1)
显然自伴算子必为正规算子.又由酉算子定义，有
T∗T=TT∗=I,(2)T ^ { * } T = T T ^ { * } = I ,\quad\quad(2)T∗T=TT∗=I,(2)
其中 III 为 XXX 上 恒等算子；反之，若(2)式成立，则 TTT 为 XXX 上酉算子.由(2)式知，酉算子必为正规算子正规算子不一定是酉算子或自伴算子，例如 T=2iI,T = 2 \mathrm { i } I ,T=2iI,则 T∗=−2iI,T ^ { * } = - 2 \mathrm { i } I ,T∗=−2iI, 所以 TT∗=T T ^ { * } =TT∗=T∗T=4I,T ^ { * } T = 4 I ,T∗T=4I, 即 TTT 是正规算子，但显然 TTT 不是自伴算子和酉算子
为了讨论这些算子的一些基本性质，首先证明下面的引理，
引理
设 TTT 为复内积空间 XXX 上 有界线性算子，那么 T=0T = 0T=0的充要条件为对一切 x∈x \inx∈X,X ,X, 有
⟨Tx,x⟩=0.(3)\langle T x , x \rangle = 0 .\quad\quad(3)⟨Tx,x⟩=0.(3)
证明 若 T=0,T = 0 ,T=0, 显然有 ⟨Tx,x⟩=0;\langle T x , x \rangle = 0 ;⟨Tx,x⟩=0;反之，如果(3)式对一切 x∈Xx \in Xx∈X 成立，对任何 x,yx , yx,y∈X\in X∈X 及数 α,\alpha ,α, 令 v=αx+y,v = \alpha x + y ,v=αx+y, 由条件得
0=⟨Tv,v⟩=∣α∣2⟨Tx,x⟩+⟨Ty,y⟩+α⟨Tx,y⟩+α~⟨Ty,x⟩=α⟨Tx,y⟩+α~⟨Ty,x⟩.(4)0 = \langle T v , v \rangle = | \alpha | ^ { 2 } \langle T x , x \rangle + \langle T y , y \rangle + \alpha \langle T x , y \rangle + \tilde { \alpha } \langle T y , x \rangle = \alpha \langle T x , y \rangle + \tilde { \alpha } \langle T y , x \rangle .\quad\quad(4)0=⟨Tv,v⟩=∣α∣2⟨Tx,x⟩+⟨Ty,y⟩+α⟨Tx,y⟩+α~⟨Ty,x⟩=α⟨Tx,y⟩+α~⟨Ty,x⟩.(4)
令 α=i,\alpha = \mathrm { i } ,α=i, 则 αˉ=−i,\bar { \alpha } = - \mathrm { i } ,αˉ=−i,此时由(4)式可得
⟨Tx,y⟩−⟨Ty,x⟩=0.(5)\langle T x , y \rangle - \langle T y , x \rangle = 0 .\quad\quad(5)⟨Tx,y⟩−⟨Ty,x⟩=0.(5)
又若令 α=1,\alpha = 1 ,α=1, 则由(4)式可得
⟨Tx,y⟩+⟨Ty,x⟩=0.(6)\langle T x , y \rangle + \langle T y , x \rangle = 0 .\quad\quad(6)⟨Tx,y⟩+⟨Ty,x⟩=0.(6)
将(5)式与(6)式相加，得到 ⟨Tx,y⟩=0,\langle T x , y \rangle = 0 ,⟨Tx,y⟩=0, 由 于 x,yx , yx,y是 XXX 中 的任意向量，所以 T=0.T = 0 .T=0.
定理1
设 TTT 为复希尔伯特空间 XXX 上有界线性算子，则 TTT为自伴算子的充要条件为对一切 x∈X,⟨Tx,x)x \in X , \langle T x , x )x∈X,⟨Tx,x) 是实数.
证明 若 TTT 为自伴算子，则对所有 x∈X,x \in X ,x∈X, 有
⟨Tx,x⟩=⟨x,Tx⟩=⟨Tx,x⟩,\langle T x , x \rangle = \langle x , T x \rangle = \langle T x , x \rangle ,⟨Tx,x⟩